[影像]傅立葉性質

傅利葉轉換(Fourier Transform)
「FT」幾項重要的性質：

◎時間延遲(Time Delay)：
　　已知X(f) = F[x(t)]，若y(t) = x(t-τ)，則Y(f)=F[y(t)]=X(f)exp(-2πfτ)。

◎時軸改變(Scale Change)：
　　已知X(f) = F[x(t)]，若y(t)=x(at)，則Y(f)=F[x(at)]=1/∣a∣X(f/a)。

◎反向時間軸(Time Reversal)：
　　已知X(f) = F[x(t)]，若y(t) = x(-t)，則Y(f) = F[x(-t)]=X(-f)。

◎頻率轉移(Frequency Translation)：
　　已知X(f) = F[x(t)]，若y(t)=x(t)exp(2πfct)，則Y(f)=X(f-fc)。

◎調變定理(Modulation Theorem)：
　　已知X(f)=F[x(t)]，若y(t)=x(t)cos2πfct，則Y(f)=1/2[X(f-fc)+X(f+fc)]。

◎時頻軸互偶性(Duality)：
　　已知X(f) = F[x(t)]，若y(t)= X(t)，則Y(f) = F[y(t)] = x(-f)。

◎迴旋定理(Convolution Theorem)：
　　已知X(f)=F[x(t)]，H(f)=F[h(t)]，若y=x(t)*h(t)，則Y(f)=X(f)H(f)。

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「時間延遲」
對應至頻域是相角(Phasor)的大小 (arg-1X(f)=-2πfτ)
，由於真實信號是由各種不同頻率正弦波或餘弦波所組成
，當這些頻率組成由甲端傳送至乙端時，若因為各自對時
間延遲的不同而造成相角的不同，則在通訊上則被稱為
「相位失真」(Phasor Distortion)。

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「時軸改變」
時間信號若是變化地越劇烈，從頻譜角度則可分析其含有
更多高頻的成份，若從濾波器要將信號萃取出來，則需要
消耗更多頻寬 (Bandwidth)，此乃濾波器設計的最基本概
念。

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「頻率轉移」和「調變定理」
應用在信號的調變解調(Modem)，根據天線理論我們將信號
調變至高頻來發射或接收則可以縮短天線長度，這是使用調
變的好處之一。

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「迴旋定理」
為線性非時變系統(Linear Time-Invariant System)的基本運作
H(f)稱為系統轉換函式(Transfer Function)
h(t)則稱為系統的脈衝響應(Impulse Response)

由數學上推導，y(t)=x(t)*h(t) <<符號「*」為迴旋積分的表示式>>
若 x(t)以δ(t)脈衝函數代入
因任何時間函數和δ(t)做迴旋積分仍是它自己
所以y(t)=δ(t)*h(t)=h(t)，故以此命名之。